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<!DOCTYPE html>

<title>Papyrus Rhind</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Papyrus Rhind</h1>

</header>

</div>

Der Papyrus Rhind ist eine <a href="Altes_%C3%84gypten" title="Altes Ägypten">altägyptische</a>, auf <a href="Papyrus" title="Papyrus">Papyrus</a> verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als <a href="Arithmetik" title="Arithmetik">Arithmetik</a>, <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a>, <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>, <a href="Trigonometrie" title="Trigonometrie">Trigonometrie</a> und <a href="Bruchrechnung" title="Bruchrechnung">Bruchrechnung</a> bezeichnen. Er gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen <a href="Papyrus_Moskau_4676" title="Papyrus Moskau 4676">Papyrus Moskau 4676</a> als eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die <a href="Mathematik_im_Alten_%C3%84gypten" title="Mathematik im Alten Ägypten">Mathematik im Alten Ägypten</a> und wird auf etwa 1550 v. Chr.<a href="#cite_note-british-1">[1]</a><a href="#cite_note-imhausen-2">[2]</a> datiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entdeckung">Entdeckung</h2></div>

Der Papyrus Rhind ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar <a href="Alexander_Henry_Rhind" title="Alexander Henry Rhind">Alexander Henry Rhind</a>, der ihn 1858 in <a href="Luxor" title="Luxor">Luxor</a>, <a href="Ober%C3%A4gypten" title="Oberägypten">Oberägypten</a> erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet <a href="Theben_(%C3%84gypten)" title="Theben (Ägypten)">Thebens</a> in oder nahe dem <a href="Ramesseum" title="Ramesseum">Ramesseum</a> gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.<a href="#cite_note-british-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Details">Details</h2></div>

Der Papyrus wurde vermutlich im 16. Jahrhundert v. Chr. noch während der <a href="Zweite_Zwischenzeit" title="Zweite Zwischenzeit">Zweiten Zwischenzeit</a> angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des <a href="Apopi_I." title="Apopi I.">Apopi</a>, eines Königs der 15. Dynastie der <a href="Hyksos" title="Hyksos">Hyksos</a>, als Datum angegeben<a href="#cite_note-british-1">[1]</a> – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des <a href="Amenemhet_III." title="Amenemhet III.">Amenemhet III.</a> der 12. Dynastie im <a href="Mittleres_Reich" title="Mittleres Reich">Mittleren Reich</a> stammte. Der Kopist – ein Schreiber namens Ahmose, nach einer früheren Transkription auch Ahmes – gebrauchte die <a href="Hieratische_Schrift" title="Hieratische Schrift">hieratische Schrift</a> und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, so beispielsweise Sätze von Teilern.

Heute liegt der Papyrus nurmehr in Form von Fragmenten einer über 5 Meter langen und etwa 32 cm breiten <a href="Schriftrolle" title="Schriftrolle">Schriftrolle</a> vor, die beidseitig beschrieben ist. Im <a href="British_Museum" title="British Museum">British Museum</a> werden zwei Stücke von 295,5 cm und 199,5 cm Länge verwahrt (1865 inventarisiert mit Nr. 10057 bzw. 10058); die Lücke zwischen beiden wird auf annähernd 18 cm geschätzt. Der Papyrus gibt neben einigen Tabellen eine Reihe verschiedener mathematischer Probleme mit beispielhaften Lösungen wieder; insgesamt sind es je nach Zählweise 84, 87 oder 91 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.<a href="#cite_note-imhausen-2">[2]</a>

Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Nach dem Titel findet sich im ersten Teil zu Beginn eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch 2/n als eine Summe von <a href="Stammbruch" title="Stammbruch">Stammbrüchen</a> darstellt, gefolgt von einer kurzen Tabelle für n von 2 bis 9 des Bruchs n/10. Anschließend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer <a href="Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">Pyramide</a> als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil, neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern wird hier unter anderem eine <a href="R%C3%A4tsel#Geschichte" title="Rätsel">Rätselaufgabe</a> zu Katzen und Mäusen wiedergegeben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Näherungswert_für_den_Flächeninhalt_eines_Kreises">Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises</h2></div>

Flächenberechnungen eines Kreises finden sich im zweiten Teil des Papyrus Rhind. In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat <a href="Inkreis" title="Inkreis">eingeschrieben</a> ist. Aus heutiger Sicht lässt sich dies als Angabe einer Näherung der <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> auffassen. Auf Grundlage der im Papyrus neben einer Skizze angegebenen Rechenvorschrift (siehe vierte und fünfte Abbildung von oben)<a href="#cite_note-3">[3]</a> rekonstruierte <a href="Kurt_Vogel_(Mathematikhistoriker)" title="Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)">Kurt Vogel</a> 1928 die dahinterstehenden Überlegungen.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Ahmes drittelt zunächst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlänge von drei Einheiten. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und kommt darüber zu der Figur eines unregelmäßigen Achtecks. Dieses Achteck setzt sich aus fünf vollen und vier halben zu der Gesamtfläche von sieben der kleinen Quadrate mit je <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{2}=9}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{2}=9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ce3bb0717e9aa3fd7c54d6676a7a7fe15e78e66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.478ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3^{2}=9}" loading="lazy"> Flächeneinheiten zusammen und besitzt so den Flächeninhalt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7\cdot 9=63}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7\cdot 9=63}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f386f0371f3c104a559566cf5e2f03e113d2a8d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.427ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 7\cdot 9=63}" loading="lazy"> Quadrateinheiten. Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis – für dessen Fläche nimmt Ahmes daher den Inhalt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 64=8\cdot 8}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 64=8\cdot 8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b08dc1dd2256d4c9417f367e42c249cdc229584.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.427ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 64=8\cdot 8}" loading="lazy"> Quadrateinheiten an, also etwas größer.

Somit wird die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9}" loading="lazy"> gleich der Fläche eines Quadrates (im Bild rot) mit der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}" loading="lazy"> gesetzt. Daraus ergibt sich näherungsweise für den Inhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/435ddb9b34af1edcea1c49915b7e5a13e3b53a9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.254ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}" loading="lazy"> der <a href="Kreis_(Geometrie)#Kreisberechnung" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreisfläche</a> mit dem Halbmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c623b6e1a1aca49031ca0acb139ba02a03efb8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {K} }=r^{2}\cdot \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af08ef171e5f1648c94bdc1cda5a63af8ff37f00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.466ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }=r^{2}\cdot \pi }" loading="lazy"></dd>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \pi \approx 8^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8f6780716ebe1058da5102b0fec1ff3d43a6484.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.8ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \pi \approx 8^{2}}" loading="lazy"> und damit annähernd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}">

<mfrac>

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</msup>

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<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<msup>

<mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c756b6db2bbbe33dc0563e8186bf94662dfe3aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:32.209ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> (<a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">pi</a>) absolut um etwa 0,01890 und relativ um weniger als ein Prozent (0,602 %).

Im altägyptischen <a href="Zahlensystem" title="Zahlensystem">Zahlensystem</a> wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt, sondern als eine Summe von Stammbrüchen:

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</mrow>

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</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}\approx \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59507c45a03c30dd9ec9652f6aa364c30d7b0685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.592ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}\approx \pi }" loading="lazy"></dd></dl>

Für das im Papyrus Rhind wiedergegebene Verfahren kann die Annäherung an die Kreiszahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> also aus dem Verhältnis der Flächeninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden,

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {Q} }=r^{2}\cdot 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1a58fe1ff7f686e6a0d2c30877f52bd737c2b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.297ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {Q} }=r^{2}\cdot 4}" loading="lazy">, so denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/372b8e5326a9bd7e1abe57f07e5405eef7588afb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.366ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}" loading="lazy"> und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/023be699afea170d40cecd57ada83af71eb19636.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.463ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der einem Quadrat mit 81 Flächeneinheiten eingeschriebene Kreis umfängt tatsächlich etwa 63,617 Flächeneinheiten. In <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9\cdot 9}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9\cdot 9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f24ffb61b332e487a5aa0411f8aaa45d0c475c68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9\cdot 9}" loading="lazy"> bezogen, über eine achteckige Figur vermittelt und seine Fläche einem Quadrat von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8\cdot 8}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8\cdot 8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5715a53c6994514f89ae6fd9e897c698ca7c88c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8\cdot 8}" loading="lazy"> gleichgesetzt – was wohl als früher Versuch einer <a href="Quadratur_des_Kreises" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</a> angesehen werden kann. Die Flächengleichheit eines Quadrats mit einer Kreisfläche wurde demnach angenommen, wenn dessen Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/138c9173bf601ee0746f7c88a4c35c4c69ae012b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}" loading="lazy"> ihres Durchmessers beträgt, also um ein Neuntel geringer ist.

Doch der Bezug von Konturen einer Figur in einem orthogonalen <a href="Gitternetz" title="Gitternetz">Netz</a> von Linien war schon den altägyptischen Steinmetzen geläufig, um einen Entwurf anhand der Verhältnisse von Schnittpunkten auf die zu bearbeitende Steinfläche proportioniert zu übertragen. Vor diesem Hintergrund stellte Hermann Engels 1977 eine andere Vermutung vor, mit der das hier angegebene näherungsweise Verhältnis aufgrund des <a href="Planquadrat" class="mw-redirect" title="Planquadrat">Planquadratnetzes</a> zu erklären wäre.<a href="#cite_note-engels-5">[5]</a> Danach würde man intuitiv einen Kreis C (mit Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">) so einzeichnen, dass sein Mittelpunkt der eines etwa flächengleichen Quadrats F (mit Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">) aus 4 mal 4 Teilquadraten ist, das in den Viertelungspunkten seiner Seiten von diesem Kreis achtmal geschnitten wird. Bei Übergang zu einer noch feineren Unterteilung von F (in 8 mal 8 einheitliche Teilquadrate) erhält man für den Inhalt des Quadrats F also 64 solcher Flächeneinheiten, während der Kreisinhalt tatsächlich etwa 62,8 Flächeneinheiten beträgt – und einem Quadrat U mit 80 Flächeneinheiten exakt einzuschreiben ist –, denn

<dl><dd>das Dreieck Mittelpunkt-Halbierungspunkt-Viertelungspunkt setzt Kreisradius und Quadratseite in die Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/412285339e079f33b8d31f73e57d849094553028.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.377ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}" loading="lazy"> und</dd>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2r=2\left({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}}\right)\approx 1{,}118\;a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f63a59c7f51f08dbb4b988eccb9131d2c2e5e673.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.062ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d=2r=2\left({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}}\right)\approx 1{,}118\;a}" loading="lazy"> für den Durchmesser ergibt sich</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=\pi r^{2}=\pi ({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}})^{2}=\pi \cdot {\frac {5\,a^{2}}{16}}\approx 0{,}982\;a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4eac29d46144ee67920288ef60985c43a5095d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:45.936ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=\pi r^{2}=\pi ({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}})^{2}=\pi \cdot {\frac {5\,a^{2}}{16}}\approx 0{,}982\;a^{2}}" loading="lazy"> dann</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5a321f62f2ac9eb1d4aa2105aa24337d686185.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=8}" loading="lazy"> Längeneinheiten somit für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6502b00bdfe90dfef2c2bd0f23a9edf51371b5e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}" loading="lazy"> Flächeneinheiten,</dd>

<dd>sowie für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2c154894379072dc88c87b1ababced1f34c6674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.023ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df018d686240dad234b22b08255f92d739688b69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.289ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}" loading="lazy"> beziehungsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b0c466dd8a6839094999cb598675968c71f1a1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.054ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei einer irrtümlichen Annahme, dass der Kreis C flächengleich mit dem Quadrat F wäre, beträgt der Fehler für die Angabe der Kreisfläche („64 Einheiten“) knapp zwei Prozent (1,825 %). Betrachtet man dagegen den tatsächlichen Inhalt der konstruierten Kreisfläche und nimmt dann hinsichtlich der Beziehung von Seitenlänge zu Durchmesser,

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5a321f62f2ac9eb1d4aa2105aa24337d686185.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=8}" loading="lazy"> ergibt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aac9a3d04c0734a1fdb5ad0731b378c2f233b2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\approx 9}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\approx 9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/875462a5d9a54df1a85d3a3eb71883e9111677c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\approx 9}" loading="lazy">, näherungsweise mit der Schätzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dbfe9c36ac7b351ef073c7bfa3c8edf30b85763.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.202ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}" loading="lazy"> vorlieb, so verfehlt man damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a363a15442d031416d1eb62254a9c726e3f6c66c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r^{2}}" loading="lazy"> um ungefähr 1,234 Prozent – genau um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63d018db55867d360ae8abb072dc93f68bbd9ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.48ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}" loading="lazy"> – denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf2cb6433cfaf28d143d6fda51e644aeb3b96284.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.883ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}" loading="lazy"> statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 20}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 20}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a54c80a7183ec4efa84bba969ef7894f5d78e70c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 20}" loading="lazy"> Flächeneinheiten.</dd></dl>

Wendet man alsdann für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> den oben beschriebenen Näherungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23df80e9315338900bba415870e8adbfd2e5e206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.31ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}" loading="lazy"> an, wird der tatsächliche Flächeninhalt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9a1a06d88aee9f1056bb83122bf198738c33f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.074ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}" loading="lazy"> mit der Annäherung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30894acaa1142e908274cf24a902156aee508746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.318ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}" loading="lazy"> etwas zu hoch veranschlagt – doch das Ergebnis entspricht nun der falschen Annahme: „64 Einheiten“.

Auf die Weise erhielte man aus der Anschauung eines Kreises in einem Quadratnetz, wie es für eine Übertragung von Entwürfen auf zu bearbeitende Flächen üblich war, in recht einfacher Art – bei irriger Annahme und grobem Maß – eine schlichte Rechenregel für die Kreisfläche: „Vermindere den Kreisdurchmesser um ein Neuntel, so bekommst du die Seite des Quadrats.“<a href="#cite_note-engels-5">[5]</a> – das, wie oben dargestellt, nur um 0,6 Prozent zu groß ist.

Das abschätzend angesetzte Verhältnis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/138c9173bf601ee0746f7c88a4c35c4c69ae012b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}" loading="lazy"> wird auch im Problem 41 (siehe dritte Abbildung von oben, vergrößert) des Papyrus Rhind angewandt, wo es um die Berechnung des Volumens eines <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">zylindrischen</a> Kornspeichers geht. Ebenfalls wird es in der Berechnungsvorschrift für den Flächeninhalt einer gekrümmten Oberfläche angenommen, die im <a href="Papyrus_Moskau_4676#Aufgabe_10" title="Papyrus Moskau 4676">Problem 10</a> des älteren Papyrus Moskau 4676 wiedergegeben ist; hier gehen allerdings die Interpretationen schon darüber auseinander, welche Fläche genau gemeint ist.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbewahrungsort">Aufbewahrungsort</h2></div>

Die beiden Hauptstücke des Papyrus Rhind (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), ein knapp 3 m und ein knapp 2 m langes Fragment, befinden sich seit 1865 im Besitz des <a href="Britisches_Museum" class="mw-redirect" title="Britisches Museum">Britischen Museums</a> in <a href="London" title="London">London</a>, verzeichnet unter den Inventarnummern pBM 10057 bzw. pBM 10058.<a href="#cite_note-british-1">[1]</a> Von dem fehlenden Zwischenstück (knapp 0,2 m) sind einige kleinere Fragmente erhalten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im <a href="Brooklyn_Museum" title="Brooklyn Museum">Brooklyn Museum</a> in <a href="New_York_City" title="New York City">New York</a> aufbewahrt werden.<a href="#cite_note-brooklyn-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Lahunpapyri" title="Lahunpapyri">Papyri Lahun / Kahun</a></li>

<li><a href="Geschichte_der_Mathematik#Mathematik_der_alten_Ägypter_und_Babylonier" title="Geschichte der Mathematik">Geschichte der Mathematik</a></li>

<li><a href="Mathematik_im_Alten_%C3%84gypten" title="Mathematik im Alten Ägypten">Mathematik im Alten Ägypten</a></li>

<li><a href="Liste_der_Papyri_des_Alten_%C3%84gypten" title="Liste der Papyri des Alten Ägypten">Liste der Papyri des Alten Ägypten</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ausgaben">Ausgaben</h2></div>

<ul><li><a href="August_Eisenlohr_(%C3%84gyptologe)" title="August Eisenlohr (Ägyptologe)">August Eisenlohr</a>: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum). 2 Bände, Hinrichs, Leipzig 1877 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.archive.org/stream/einmathematische00eise#page/n7/mode/2up">online</a>).</li>

<li>Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. Hodder & Stoughton für The University Press of Liverpool, London 1923.</li>

<li>Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058. 2 Bände, Mathematical Association of America, Oberlin (OH) 1927/1929. (Verkürzte Neuauflage: National Council of Teachers of Mathematics, Reston (OH) 1979, ISBN 0-87353-133-7).</li>

<li>Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. An Ancient Egyptian Text. British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (mit Fotos des Papyrus).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Marshall_Clagett" title="Marshall Clagett">Marshall Clagett</a>: Ancient Egyptian Science. A Source Book. Band 3: Ancient Egyptian Mathematics (= Memoirs of the American Philosophical Society. Band 232). American Philosophical Society, Philadelphia (PA) 1999, ISBN 0-87169-232-5.</li>

<li>Milo Gardner: An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution. In: Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Band 28, 2006, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220970-0307%22&key=cql">0970-0307</a>, S. 157–173.</li>

<li>Richard J. Gillings: Mathematics in the time of the pharaohs. Unabridged, slightly corrected republication. Dover Publications, New York (NY) 1982, ISBN 0-486-24315-X.</li>

<li><a href="Annette_Imhausen" class="mw-redirect" title="Annette Imhausen">Annette Imhausen</a>: Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (= Ägyptologische Abhandlungen. Band 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9.</li>

<li><a href="Franz_von_Krbek" title="Franz von Krbek">Franz von Krbek</a>: Eingefangenes Unendlich. Bekenntnis zur Geschichte der Mathematik. 2. Auflage. Geest & Portig, Leipzig 1954, S. 79 ff.</li>

<li><a href="Neil_MacGregor" title="Neil MacGregor">Neil MacGregor</a>: <a href="A_History_of_the_World_in_100_Objects" title="A History of the World in 100 Objects">Eine Geschichte der Welt in 100 Objekten</a>. (Aus dem Englischen von Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck u. a., München 2011, ISBN 978-3-406-62147-5, S. 141–149.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rhind_Mathematical_Papyrus?uselang=de">Commons: Rhind Mathematical Papyrus</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10057">Rhind Mathematical Papyrus</a> – Artikel mit Abbildungen der Papyrus-Fragmente auf Site des British Museum.</li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html">Rhind Papyrus.</a> MathWorld–A Wolfram Web Resource, abgerufen am 29. Januar 2011.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=Rhind+Papyrus&rft.description=Rhind+Papyrus&rft.identifier=&rft.creator=%5B%5BEric+Weisstein%7CEric+W.+Weisstein%5D%5D&rft.publisher=MathWorld%E2%80%93A+Wolfram+Web+Resource&rft.date="> </li>

<li>O’Connor and Robertson: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html">Mathematics in Egyptian Papyri</a>.</li>

<li>Scott W. Williams: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html">Egyptian Mathematics Papyri</a>.</li>

<li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/RMP_2/n_table" class="extiw external" title="en:RMP 2/n table">RMP 2/n Table</a> der englischen Wikipedia</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-british-1">↑ <a href="#cite_ref-british_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-british_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-british_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-british_1-3">d</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10057">The Rhind Papyrus.</a> in der Collection des <a href="British_Museum" title="British Museum">British Museum</a>. Abgerufen am 6. Juli 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=%27%27The+Rhind+Papyrus%27%27&rft.description=%27%27The+Rhind+Papyrus%27%27&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.britishmuseum.org%2Fcollection%2Fobject%2FY_EA10057">

</li>

<li id="cite_note-imhausen-2">↑ <a href="#cite_ref-imhausen_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-imhausen_2-1">b</a> Annette Imhausen: Mathematics in Ancient Egypt. A Contextual History. Princeton University Press, Princeton (NJ) u. a. 2020, ISBN 978-0-691-20907-4, S. 65 f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=xkjWDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false">Google Books</a>).

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> vergleiche die fotografische <a rel="nofollow" class="external text" href="https://media.britishmuseum.org/media/Repository/Documents/2014_10/12_21/1ac6b8b7_abf6_42f0_b8b2_a3c201651407/mid_00766114_001.jpg">Wiedergabe</a> dieser Stelle des Rhind mathematical papyrus im Internetauftritt des British Museum.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> siehe dazu <a href="Kurt_Vogel_(Mathematikhistoriker)" title="Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)">Kurt Vogel</a>: Vorgriechische Mathematik. Teil 1: Vorgeschichte und Ägypten (= Mathematische Studienhefte für den mathematischen Unterricht an höheren Schulen. Band 1, <a href="Zeitschriftendatenbank" title="Zeitschriftendatenbank">ZDB</a>-ID <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=255205-X&key=zdb">255205-X</a>). Schroedel u. a., Hannover 1958, S. 66.

</li>

<li id="cite_note-engels-5">↑ <a href="#cite_ref-engels_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-engels_5-1">b</a> Hermann Engels: Quadrature of the circle in ancient Egypt. In: <a href="Historia_Mathematica" title="Historia Mathematica">Historia Mathematica</a>. Band 4, Nr. 2, 1977, S. 137–140, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/0315-0860%2877%2990104-5">10.1016/0315-0860(77)90104-5</a>.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Hans_Wu%C3%9Fing" title="Hans Wußing">Hans Wußing</a>: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Band 1: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 120 f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=lDZFEYTehKkC">eingeschränkte Online-Version (Google Books)</a>).

</li>

<li id="cite_note-brooklyn-7"><a href="#cite_ref-brooklyn_7-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.brooklynmuseum.org/opencollection/objects/118304">Fragments of Rhind Mathematical Papyrus.</a> online in der Collection des <a href="Brooklyn_Museum" title="Brooklyn Museum">Brooklyn Museum</a>. Abgerufen am 29. August 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=%27%27Fragments+of+Rhind+Mathematical+Papyrus%27%27&rft.description=%27%27Fragments+of+Rhind+Mathematical+Papyrus%27%27&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.brooklynmuseum.org%2Fopencollection%2Fobjects%2F118304">

</li>

</ol>

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Normdaten (Werk): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4735890-7">4735890-7</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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